這本書是介紹基礎數學的名作
非常適合中學程度的學生看..很可惜以前沒有機會知道這本書
看完這本書可以對數學有更紮實的認識
最近常在想..以前考試分數很高就會以為自己懂了那些東西
但究竟是真的懂了..還是只是知道要寫什麼能拿高分就寫什麼呢?
幸好現在已經過了需要拿高分的年紀..正好可以重新來檢驗一下自己的數學基礎
書裡總共分為八章..分別討論不同領域的數學
一樣是以四大數學學門在時間上的順序來舖陳: Arithmetic, Algebra, Geometry, Analysis
以下為各章的簡單整理
1. The Theory of Numbers
這裡的number指的就是自然數..所以這章可視為Arithmetic的簡介
裡面討論很多質數的性質..像是費馬小定理等等
作者亦提到了Prime number theorem..也就是當n很大時
小於n的質數總數A(n)將趨近於n/log(n) !!
這是高斯發現的性質..但在很久之後才有稍微牢靠的證明
本書的最後一章的最後一小節有提供一個不是很嚴謹的證明
我想作者似乎是故意以這個例子
來說明兩個看似不同的數學概念(數論和微積分)竟能巧妙地連結在一起
2. Number System of Mathematics
這章幾乎是人類對於"數"的簡史
說明了如何從自然數..發展出了零, 負數以及有理數的概念
到此為止幾乎不會有人去懷疑這些數的存在與否
但接下來為了補齊多次方程式的解以及對於一條線上的各點都有對應的值
人類發明了無理數..從而補齊了實數
依是否屬於有理係數多次方程式的根..實數又可被分為代數數以及超越數
像根號2就是代數數..但pi和e都是超越數
如果考慮在實數線上的密度的話..違反人類直覺的是超越數的量遠超過代數數
最後為了讓每個多次方程式皆有解..人類又創造了虛數i..進而補齊了複數系統
於是"代數基本定理: 一元n次多項式有n個根"一統了人類的number system
雖然大多數的我們用起複數幾乎不曾帶有一絲的懷疑
但這卻曾讓許多數學家坐立不安
舉無理數為例子..我們可以很容易的從日常生活中"理解"何為有理數
但仔細想想會發現..無理數的計算最後都是借助有理數的無窮數列的逼近來完成
如果一個數需要用到"無窮"的概念來計算..那它真的還是一個簡單的"數"的概念嗎?
這也是讓有些數學家反對有理數以外的數的原因
但歷史的演進至今..這個"無窮"取極限的想法已成為數學界的主流..也幾乎終結了幾千年來的爭論
3. Geometrical Constructions
這裡主要討論的是尺規作圖..當然如果放寬使用工具的限制..是可以創造出如何畫出立方根2的工具
但尺規作圖的歷史已久..一直是人類連結數學和幾何的思考來源..也成為重要的數學分支
本章的重點在於哪些數字可以由尺規作圖得出..而哪些又不行?
尺規作圖的最一開始先取一個線段..之後的作圖都以此為基礎
其後第k次畫出的線段都可以表示為a+b x 根號w..這些數可形成一個field F_k
其中a,b,w都屬於F_k-1
於是得知尺規作圖能得出的數都必需能表示成F_k的形式
接下來作者證明了一個定理:
"任一有理係數一元三次多項式..若沒有任何有理數根..則它的根都無法由尺規作圖畫出"
藉由這個定理..古老的三大尺規作圖難題: 畫方為圓, 任意三等分角, 以及立方根2
都被證明為是不可能的
此外也因尺規作圖能作出的數皆為代數數..於是超越數如pi和e也是無法尺規作圖得出的
[想當年我還花了不少時間試著去任意三等分角 Orz]
本章也討論了另一種有趣的作圖方式..就是只用圓規不用尺的話..能畫出什麼東西?
結論是幾乎大部份尺規作圖的數都可以只用圓規畫出!!
這方法最大的缺點..也是和尺規作圖最大的差別..就是尺規作圖是finite construction method
也就是每一步都是很實在的知道圓規半徑是多少..但這方法不是..畫法中常有猜的成份在裡面
它一個很主要的突破點是inverse point的理論
給定圓的中心O和半徑r..對於任一點P..可在OP直線上畫出一點P'使得OP x OP' = r^2
有趣的結論則是對於圓或直線上的所有點做出的inverse point的集合
會依原圖形是否有穿過圓心O..變成一個圓或直線
很神奇地利用這些特性..只用圓規就可以做出像是中分一條線的作圖
4. Projective Geometry
投影幾何是很神奇的一門學問
在傳統的解析幾何裡面..計算中常常都要注意除以零造成無限大的特殊狀況
例如計算兩線交點..當兩線漸為平行的話..會交點會漸趨於無窮遠處
但真的是平行的狀況又必需被排除..這造成傳統幾何一堆特殊狀況
投影幾何一開始是討論幾何圖形在不同投射狀況下一些不變量的性質
像是一線上ABCD四點的cross-ratio = ACxBD/BC/AD就是有名的不變量
在純幾何學上的推導可用來證明許多有趣的定理
然而在把投影幾何用解析幾何的方法表示後..可以定義無窮遠處的點為可表示的座標
於是在投影幾何裡特殊狀況變成很少 (主要都在投射點上)..而平行線的處理和一般的沒兩樣
更有趣的是線和點在解析表示上竟有duality
於是讓許多類似的敘述不證自明..像是"兩線交於一點" <=> "兩點連成一線"
接下來作者介紹的則是非歐幾何..和投影幾何的主要關係在於不變量概念
從歐幾里德的幾何原本開始..對於第五平行公設人類就存在著許多困惑
因為它和前四個公設似乎沒什麼關係..也是唯一一個需要用到無限遠觀念的公設
在人類經過一千多年來嘗試用前四個公設去證明平行公設失敗後
有人開始思考平行公設會不會是和前四個公設完全獨立的東西
這觀念看似簡單..其實要拋棄根深蒂固的直觀是很困難的
後來許多數學家基於不同版本的第五公設都可以建立出不同的幾何世界
較容易懂的就是地球表面上的兩維幾何 (直線的定義為兩點間最近的線段)
任何兩條線都會相交在某處..而三角形內角和大於180度
最後集之大成的是Riemann..他更發展出微分幾何 (至此已變成純解析的幾何了)
也定義出了許多不變量..後來讓愛因斯坦撿了個大便宜..直接套用在廣義相對論上
5. Topology
拓撲學研究的是高層次的不變量問題
祖師爺就是所有多面體的不變量 - 著名的Eular's theorem: V-E+F=2
(V, E, F分別為頂點, 邊, 和面的個數)
其證明最後化簡至等價於三角形的V-E+F=1 !!
後來的拓撲學主要都在研究物體在經過任意拉扯(但沒被撕裂)的動作後
有什麼性質是不變的..像是物體有幾個洞(connectivity)不會隨這些動作而改變
它也有一些有趣的小分支..像是四色問題
該問題指的是任意一個地圖..若相鄰的國家都用不同顏色來畫的話..最少是否需要四個顏色?
人類很早就能證明五個顏色是足夠的..但一直無法證明四個就可以
該問題最後被人分解為許多種不同狀況..然後用程式檢驗所有情形..得到的答案是四個就足夠
但這"證明"不被許多數學家接受..因為沒有被人類一行一行的進行邏輯檢驗
這結果後來被廣為接受..用"程式"來輔助證明的作法也算是一種里程碑了吧
6. Functions and Limits
接下來的三章是我最喜歡的解析部份
許多的函數概念是建立在連續性上..但關於連續性的爭議不時在數學史上出現
在經過長久的trial-and-error..人類終於發展出最容易被接受的連續定義
現在正規的連續是定義在極限的概念上
當我們說1/N在N趨近無限大時會趨近於零..其數學表示為
給定任一小的a..都能找出一個N0使得所有N>N0都能滿足|1/N - 0| < a
也就是你永遠都可以找到足夠大的N使得要多接近極限值都可以
極限被發展為嚴格的數學定義後..也可以用來定義常數..像是
e = 1+1/1!+1/2!+1/3!+..+1/n!+...
pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+1/9-...
這些常數與極限的連結也是函數帶來的驚人發現之一
當我們說f(x)在x0處連續時..其數學定義為
給定任一小的a..都能找出一個d使得在|x-x0|<d的區間內都滿足|f(x)-f(x0)|<a
連續性的定義可以用來證明符合直覺的中間值定理
也就是任一在f(a)和f(b)間的數C..都能在a與b之間找得到x0滿足f(x0)=C
至此連續性的嚴格定義正規化了整個解析數學
所謂的高等微積分有一半都是在討論連續性帶來的完整性
極限還能有另一種特殊的工程用途
例如要找出x^3-3x+1=0的解..我們可以定義x_(k+1) = 1/(3-(x_k)^2)
若此數列有極限值的話..那該值就為一個解..因為x = 1/(3-x^2)
在工程上常用這種方法來逼近難解問題的答案
7. Maxima and Minima
許多數學問題都是在問極大值和極小值的問題
這章介紹的主要都是不使用微積分的極值問題
很多都是用幾何的方法解法..特別是使用二次函數
像是在任一銳角三角形的三邊上各選一點形成的三角形..哪一個的周長最小?
以及Steiner's problem: 找出一點D使得其到給定三點ABC的距離和最小
這能解決像是為了三個城鎮要蓋一個郵局..要蓋在哪最有效的問題
而結論為DA,DB,DC的角度皆為120度
這亦可延伸到多點的問題..但結論都一樣..形成的角度為120度是最好的
另外作者也提到了isoperimetric problem..也就是等周問題
給定一周長..怎樣的圖形面積最大的呢?
答案是圓..但是其證明是直到近代才有的..書中有給一個好懂的證明
反過來則是說給定一面積..圓的周長是最小的
他也提到了變分法(Calculus of Variation)的問題
在這類問題中..變數不再只是數字..而是函數
經典例子為最速降線問題: 在只有重力的影響下..通過給定兩點的軌跡..哪個能提供最短的時間呢?
在這問題被考慮的是所有通過兩點的函數..而最後的答案是擺線
另一個例子則為在球狀表面上..經過兩點長度最短的函數是什麼呢? (這就是非歐幾何上的直線)
(變分法是十分實用的數學..但不屬於基礎數學裡
一來可能是觀念不好懂..二來是它的數學基礎沒有微積分完整)
在考慮極值問題時..有一個很重要的先決條件很容易被忽略掉
那就是極值本身必需是存在的
很多人(包含如Riemann等級)在處理極值問題..都是已假設極值存在再做計算
這被稱為Dirichlet's Principle..但這很可能會造成邏輯上的問題
例如我們先假設正整數是有一個最大的數的話
那麼可證明其值為1..因為對於任一x不等1都可找到另一個更大的數x^2 > x
不過在處理工程問題時..很多時候都是直接假設極值存在的..因為我們不是數學家吧
8. Calculus
若要選出一個對科學影響最大的數學那就是微積分了吧
作者一開始強調的是..微積分並不是像一般講的是牛頓和萊布尼茲的發明
積分(求面積)和微分(求斜率, 斜率=0為極值)都已出現在歷史上
阿基米德早就能用類似的極限概念求得球體體積和表面積
牛頓和萊布尼茲的貢獻是發現了微分和積分竟神奇地是互逆的運算
這就是所謂的微積分基本定理
這個定理不只讓許多微積分運算變得簡單
也產生了許多像e = 1+1/1!+1/2!+1/3!+..的有用式子
微積分最大的觀念進入障礙就是..無論是面積或是切線斜率..它們都是定義在極限上
積分是定義為無限多的小區間的面積和的極限
而微分則是在函數上兩點連線斜率..在兩點趨近於同一個點的極限
把面積和切線斜率視為固定的東西或許對人類的直覺上有幫助..但在數學上是沒有幫助的
這裡可以用一個例子來說明微積分的威力
現在的微積分符號都是沿用萊布尼茲的..因為比較符合直覺的想法
像是dy/dx..可以感覺像是delta y / delta x..然後上下取無限小極限的結果
這個符號也符合反函數的微分是函數微分的倒數的事實 dx/dy = 1/(dy/dx)
令y=tan(x) => dy/dx = sec^2(x) = 1+tan^2(x) = 1+y^2
=> x=arctan(y) & dx/dy = 1/(1+y^2)
由微積分基本定理可知 x(y0)-x(y1) = S 1/(1+y^2) dy (由y0積到y1)
代入y0=1, y1=0..經計算可得pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+1/9-... !
微積分也被用來定義出自然對數log(x)
其定義即為 d(log(x))/dx = 1/x..因為由一般的公式可知1/x的積分無多項式表示式
經過推導後..會發現該函數正好符合對數的性質
該底數就是工程師的好朋友Eular's number e
而log(x)的反函數就可定義出指數函數
(這裡可以看出e的定義是有唯一性的..而像是pi的定義就不是唯一的
今天若定義一個常數為2*pi然後改掉所有數學式子也不會有什麼影響
但e就是e..你不能動它..而且e^x無論被微分或積分攻擊都不受影響..堪稱數中之王啊)
微分和積分在實用上也有其特殊的性質
一般來說求微分是比較簡單的事..但可微性是比連續性更嚴格的定義..許多函數常在某處不可微
反過來求積分通常比較困難..很多時候都得借助微積分基本定理由已知的微分公式得出
但只要函數是連續的..則其積分就是存在的
簡單來說就是微分易求但存在性不易決定..而積分存在性沒有問題..但要算出值不容易
本書的最後用一些合理的假設..推導出小於n的質數總數會趨於n/log(n)
這段證明巧妙的結合了數論和微積分
可以看到就算不是很嚴謹的數學證明..也能帶給我們很有趣的結論
這就是數學的威力啊!
留言列表
