前一陣子忙到翻掉, 不過只要翻一翻這本書就會覺得很療癒

這本書講的是17個改變世界的方程式

當然重要的方程式不會只有作者挑的這幾個

在不同領域都會有其經典方程式存在, 但這17個方程式的確都有其深遠的影響

 

我一直認為, 數學是最精確的語言

它是最能描述我們人類認為這世界運作模式的表達方法

學好數學, 其實就是要去學好如何精確的描述你的想法

而如同統計學家George E. P. Box所說

"All models are wrong, but some are useful."

方程式並非真理, 僅是人類對於世界的客觀描述

但是真正有用的方程式能發揮作用, 讓人類的科技進步如此神速

 

另外, 方程式有時也可以跟美術品一樣

看到美妙的方程式, 真的會令人感動呢!

 

以下簡述作者提及的17個方程式, 其中只有兩個是我沒看過的, 所以算是滿大眾化的

 

1. 畢氏定理

eq01  

數學界一個有趣的通則就是, 通常被用來命名方程式的那個人名都不是原始發現者

這式子在畢達哥拉斯之前早已在文獻上被記載過

它連結了幾何和代數這兩大數學分支, 也精準地定義了"距離", 讓人類開始能準確地測量世界

 

大部份三角形都不是直角三角形, 但都可以切分成直角三角形的組合

這個觀察讓我們可以藉由三角函數來進行三角測量

也就是只要知道兩邊的長度和其夾角, 即可得知第三邊長度

因此透過把地面分成許許多多個三角形, 然後只要準確測量其中一些邊長

剩下的所有邊長就都可以透過測量角度而得到!

也因此人類在1617年就可以準確地計算出地球的大小

 

更深遠的影響則是座標系的定義, 因為座標系就是由如何測量距離所定義的

從最直覺的笛卡兒座標, 到不遵守歐幾里得平行公設的非歐幾何

如果你真的去量測地球表面上的三角形, 你會發現內角和其實大於180度

在二維表面上的這種現象, 由高斯以曲率給了完整的解釋和定義

像地球的曲率為正, 三角形內角和大於180度; 而馬鞍的曲率為負, 三角形的內角和就會小於180度

後由黎曼完成了高維度曲面, 也就是流形(manifold)的理論基礎

此後測地線(geodesic)定義了兩點之間的最近距離, 而曲率定義了區域的幾何特性

至此聽起來好像從很實用的笛卡兒座標和三角測量, 變成數學家的玩具

但是最神奇的是, 它後來拯救了在廣義相對論上卡關許多的愛因斯坦

從拿來測量農地距離的畢氏定理, 到推廣至廣義相對論而能一探宇宙奧妙, 真是令人覺得不可思議!

而這就是數學的威力

 

 2. 對數

 eq02  

大家都知道乘除法比加減法難算許多

但直到在十七世紀初, 人類才發明對數這種概念

藉由對數表, 可以把乘除法變成加減法, 因此就能很快速地計算兩數相乘甚至是n次方

 

對於現代人, 因為有電腦的誕生, 對數表可能沒有什麼用了

但是對數的觀念依舊很重要, 舉凡許多自然界的現象都要由對數的觀點來看待才合適

像是人類的視覺和聽覺, 敏感度都是和能量大小呈對數關係, 像是用分貝來衡量聲音的大小

還有像是地震的苪氏規模, 以及粒子的幅射的半衰期等

 

附帶一提的是, 對數的計算和基底習習相關

其中自然對數的基底e, 又稱為Euler's number, 是個很有趣的常數

可稱為唯一一個獨一無二的常數 (e.g. e^x的微分還是e^x)

反而是圓周率pi, 如果今天開始都改用2*pi來表示相關公式, 也不會有什麼影響

 

3. 微積分

eq03  

說微積分是近代科學的基礎應該不會太過份

其實微分和積分的概念, 在很早以前人類就已經有了

阿基米得早已知道可以用無窮逼近的方式, 求得圓的面積

因此一般坊間說道, 微積分是牛頓和萊布尼茲發明的, 這是不精準的說法

嚴格來說, 他們發現的是微積分基本定理, 也就是微分和積分互為逆運算

而且牛頓直接將這方法 (他稱為流數), 套用在他的運動定律和重力定律之上, 打開了近代科學的大門

星星的運行不再是由天使在背後推動, 而是遵守著方程式 (通常是微分方程式)

 

但微分的邏輯概念上, 更是爭吵了更久的一段時間

什麼叫"逼近", 什麼叫"足夠小", 什麼叫"連續", "無限小"等於零嗎?

這些概念一開始無法用數學來表示, 雖然無損於牛頓的計算結果, 但卻困惑了數學家許久

後來德國數學家Karl Weierstrass的極限的概念出現, 這些邏輯上的問題才有了令人滿意的答案

微積分也正式開啟數學四大分支之一的分析學(Analysis), 成為現代科學的支柱

 

4. 萬有引力定律

eq04    

天體運行的問題一直以來對人類就是一件神秘的事情

除了神話的想像外, 在科學上是經過托勒密, 哥白尼, 和克卜勒的努力

最後由牛頓以萬有引力定律終結了這場傳統論戰

它告訴我們, 讓蘋果從樹下掉下來的力, 和讓月球繞著地球轉的力是一樣的 (怎麼想都很神奇)

嚴格來說, 引力和距離平方成反比, 並不是牛頓所獨創

他的宿敵虎克, 就一直認為牛頓剽竊他的點子

牛頓決定性的貢獻在於, 他將微積分, 牛頓運動定律和萬有引力定律結合在一起

用數學證明了克卜勒三大行星定律, 滿足了當時最準確和最大量的行星觀察結果

他甚至也證明了, 物體不用是想像中的小點, 這些結論都可延伸至球體 (經典的積分應用)

 

雖然兩個物體的相互運動有解析解, 但事實上若問題稍為擴大到三體運動, 問題就變為十分複雜

經過許多數學家的前仆後繼, 公式解已被認為是不可能的了

所以和一般人想像相反的是, 儘管人類的科技看似進步, 但對於複雜系統的我們的掌握度並不完美

現在的軌道預測, 都還是要靠大量的高速電腦運算來近似出, 長期的預測幾乎不可能

但為何人類還是能不斷的發射探測器到太空, 像航海家一號都已經飛到太陽系外了

主要是靠的是去計算出重力位能的高峰和埡口, 像是兩個物體之間有五個位置其重力場是相互扺消的

這些位置又稱為Lagrange points, 若把第三個物體擺在這些點上, 它相對上來說會是不動的

(雖然三體運動無一般公式解, 但把東西擺在Lagrange points上, 就能得到特殊解)

透過善用能量圖, 我們能把探測器指引到高峰, 用最小的力氣把自己甩到想要的方向去

或是穿過天體之間的隧道, 就能不需消耗太多能源而能在宇宙中奔跑

 

 

5. 虛數 (複數)

eq05      

虛數被稱為"想像中的數", 和對人類來說, 和實數這種實實在在的數字好像不太一樣

如果僅單純定義i為-1的平方根, 似乎也沒有什麼意義

西元前1500年, 巴比倫人就知道二次方程式的公式解, 如果根號裡是負的, 我們大可說無實數解來結案

然而在西元1545年, 卡爾達諾出版了<大術>這本書

裡面講述了三次和四次方程式的根式解 (都不是他本人發明的)

所謂根式解, 指的是僅用四則運算和根號, 對方程式係數做運算就能得出答案

(後由Galois證明五次以上方程式無根式解)

在三次和四次方程式的根式解裡, 包含了對複數再做開根號的運算

像是x3-15x-4=0方程式的根式解, 必需把i當作實際存在的數字, 對它進行運算後, 才會得到實數解:

eq05-0  

因此i變成了必要之惡

 

其實複數a+bi也並非難以想像, 只要像高斯把它看作一個二維平面上的實數對(a,b)即可

而複數分析則把常用的函數全推廣到複數領域

其中可得到號稱最漂亮的公式 - Euler恆等式:

eq05-1  

它包括了Euler's number, 圓周率, 虛數i和負數的概念, 一整個就是人類數學史的縮影

除了概念上的美觀外, 複變函數更是現代電磁學和流體力學不可或缺的數學工具

 

6. Euler的多面體方程式

eq06        

(Euler已經出場許多次, 不愧為史上最多產的數學家)

這公式指的是立方體的面(F), 邊(E)和點(V)的數目不是獨立的

它們必需遵守上述的公式

其一種證明的方法, 是一路合併相鄰的面, 會發現上面的恆等式會一直維持住

 

數學家將這事實推廣成"不變量"的概念, 而拓撲學就是在探討不同結構下的不變量的學科

例如甜甜圈和咖啡杯都有一個不變量, 就是洞的數目只有一個

我其實不太了解拓撲學的實際應用, 但作者提到在生物學裡解釋DNA的運作機制會派上用場

 

 

7. 常態機率分布

eq07          

機率是用來建構"隨機事件"模式的數學

隨機不代表無跡可尋, 長期(或大量)的統計值是可能被預測的

機率論始於17世紀的Pascal, 他提出了"期望值"的概念

然而機率的數學基礎似乎一直暗藏著漩渦 (如近期的frequentism和bayesianism的爭論)

例如如果定義機率為長期的統計結果, 那麼對於一個硬幣投擲會是正面的機率即是長期的正面平均次數

但是測試的結果如果是依序出現一次反面, 兩次正面, 三次反面, 六次正面, 十二次反面, ...

那麼出現的比率將會在1/3和2/3之間來回震盪, 不會收斂, 似乎機率有可能是無法定義的!?

我們直觀上的解答, 應是發生這種事件的"機率"很低, 但這裡的"機率"你又要如何定義呢?

這問題由白努利從反向思考來解決, 他先定義其機率為p, 即概念上必定存在一機率

然後證明一個機率的基本定理: 大數法則

也就是長期試驗後, 平均次數的誤差可降到任意小, 而其極值即為p

白話一點的說法就是, 機率是存在的, 但多少我們不知道

不過我們可以透過不斷的重複實驗, 則其平均次數會趨於真實的機率p

(p.s. 但對於不可能重複實驗的事件, 如911事件, 無法用這種方式來定義及測試機率, 也是frequentism的大缺陷)

 

常態分布函數(或是鐘形曲數, 或高斯分布)的出現也是十分偶然

對於擲一個公正的銅板(p=1/2) n次後, 出現幾次正面幾次反面的機率, 可用Pascal三角形來表示

但其數字在n變大時很難計算, 因此數學家試著去尋找近似的方法

大約在1730年, DeMoivre設計出常態分布函數來近似Pascal三角形, 並給予證明在n很大的時候結果會很接近

常態分布很快就成為機率論和統計的核心

一來是數學特性極佳, 二來是存在理論(中央極限定理)來支持它在現實應用上的合理性

如用來做線性迴歸的最小平方法, 在1805年Legendre提出時, 僅是試圖最小化誤差平方和

但1809年, 高斯卻說他早Legendre十年就發現最小平方法 (這種事情出現很多次....)

而且他的論述是, 測量上的誤差是遵守常態分布的, 因此最小平方法等價於maximum likelihood

簡單來說, Legendre想的是去契合直線, 但高斯想的是契合分布函數, 等級有差

 

常態分布後來一直在各個地方的統計結果出現, 包含人的身高, 體重, 出生和死亡, IQ等的數據

但這並不是巧合

在1810年, Laplace用Fourier Transform(第九個方程式)證明了中央極限定理

也就是一堆獨立又相同的隨機變數的平均會趨於常態分布!

再加上一堆常態分布的變數的線性組合也是常態分布, 這導致許多我們觀察到的統計數字都是常態分布

後來許多的統計工具, 都直接假設受檢驗的統計值是呈常態分布, 例如假設檢定和每次民調都要注意一下的信賴區間

但過度誤用常態分布可能會造成錯誤, 當假設檢定出現問題時, 有可能根本該統計量就不是遵守常態分布

如同馬克吐溫所說的, 世上有三種謊言: 謊言, 該死的謊言, 和統計

在使用統計工具或接受統計分析結果時, 要小心其背後的假設

 

8. 波方程式

eq08            

這是用來描述波的行為的方程式, 波幾乎無所不在, 舉凡聲波, 電磁波, 地震波等

數學家一開始感興趣的是小提琴的弦的行為

從畢達哥拉斯時代, 就了解一定長度比例的弦彈出來的聲音會比較和諧, 也因此發明了八度音等理論

然而對於其物理意義, 是直到波方程式被提出來後, 才被人類所理解

假設波的位置為時間t與空間x的函數u(x,t)

波方程式說的是, u的受力也就是加速度(等式左邊), 和波的形狀有關, 也就是二次偏微分(等式右邊)

若將弦的左右邊分別固定在x=0和pi上的話, 波方程式的解為sin(nct)sin(nx), n=1,2,3,...

振動的頻率則是nc/(2*pi), 因此n越大頻率越高, 且和基頻n=1呈倍頻的關係

另外波的速度為c, 和頻率無關

 

波的最基本解為正餘弦函數

任何週期性波形都可使用Fourier series將它分解為基本的正餘弦函數之線性組合

然後分別去分析每一個基本正餘弦函數, 以得知該波形的特性

雖然一開始是針對玩具般的弦的模型出發, 但近代已成為許多領域的基礎

像是聲波, 地震波, 電磁波(例如光), 量子力學, 重力場等等

連石油公司都是透過觀察地震波, 來反過來重建地質, 已得知哪裡有石油

所以今天我們能開著車到處跑, 是因為古人亂撥弦的結果, 很難以想像吧

 

9. 傅立葉轉換 (Fourier Transform)

eq09              

這是將時域訊號轉換成頻域訊號的強大數學工具, 在電機領域已是許多技術的基石

它起始於傅立葉(Fourier)在1807年投稿到法蘭西科學院的一篇論文

裡面探討熱是如何流動的, 其方程式和波方程式很像, 只是等號左邊換成對時間的一次偏微分

其基本解變為exp(-n^2 c^2 t) sin(nx)

原本會隨時間振盪的波, 變成了隨時間依指數的速度消逝的熱擴散

除了這點不同以外, 最大的差別在於波因為會常駐, 所以可以假設其波形限制在一固定範圍裡

因此可以使用Fourier series把任意波形分解為正弦函數的線性組合

然而熱擴散在一般狀況下不適用於固定範圍的假設, 所以不該對其範圍設限

此時, Fourier series會進化為Fourier transfom的型式

到這一步之前, 當時的人們都可以接受這是一個很好的研究

也因此傅立葉在1812年獲得法蘭西科學院的學術大獎

 

但是, 這篇論文卻被法蘭西科學院拒絕刊登!

原因是對於熱的問題, 兩個溫度不同的物體緊密相鄰是很常見的

此時熱的分布函數為不連續函數, 但傅立葉卻大膽地說傅立葉轉換也能適用, 卻沒有任何證明

這讓當時法國的保守數學家們無法接受 (當時甚至連何謂"連續"函數都沒有數學上的定義)

因為傅立葉轉換為積分運算, 要能保證其積分會收斂才有意義

(這問題要到了1904年, 由Lebesgue對積分提出新詮釋方法Lebesgue Integration才解決)

傅立葉的直覺是對的, 他也不理睬這些意見, 在1824年時把論文原封不動地發表在科學院的期刊上

 

傅立葉在這點上, 比較像一個務實的工程師, 因為真實世界裡哪裡存在人類想像中的不連續函數呢?

傅立葉轉換的應用十分廣泛, 把時域信號轉換成頻域信號, 可以帶來許多新的思維

例如每個建築物都有自己的自然震動模式, 因此我們要避免它的震動頻率和地震波頻率很接近

能想像這個技術救了多少人命嗎?

在眾多應用中, 有一個是我們每天都在使用到的, 就是影像壓縮

原始的圖像(image)或動態影像(video)資料量都很大, 如果沒有對檔案進行壓縮, 現在的網路世界將會只有文字

像是你在youtube上看的影片, 其壓縮率約為100倍, 也就是如果沒有壓縮, 你得花一百倍的時間才能下載完

更不用提目前全世界的總網路頻寬, 有60-70%以上都是影片傳輸, 這樣就能知道壓縮的重要

該技術中一個很重要的概念, 就是把影像轉換至頻域, 然後去除掉人類感知不到的部份

嚴格來說, 這裡只需要用到Fouries series的觀念

個人覺得作者有點過度連結了, 不過這當然不影響傅立葉轉換的重要度, 電機系的人都得好好學啊!

 

10. 納維-斯托克斯方程式 (Naiver-Stokes Equation)

eq10                

這個方程式提供了精確的方法來計算流體如何流動

1738年白努利發表了<流體力學>, 說明了流體在壓力低的區域流動較快的原則

現在我們通常都教中小學生, 這就是飛機能飛起來的原因

然而真實的狀況卻是出奇地複雜, 飛機能飛得這麼順利其實到現在都還有很多謎團沒解開

 

Navier-Stokes equation是目前人類對於流體最精準的表示

它主因是依據動量守恆, 並考量流量有黏性而推導出來的

方程式裡rho為密度, v為速度向量, p為壓力, T為張力, f則為受力

上面這個式子是假設流體為不可壓縮(e.g. 水)

有另一些變型是為可以壓縮的流體(e.g. 空氣)而設計

 

這個方程式雖然在物理上是堅不可摧的表示式

但它的解並不好求, 一般來說目前無法用解析解來表示, 需要透過高速電腦來進行近似的計算

因此之前人類主要還是靠風洞測試來設計飛機

直到最近高速電腦的進步, 才能我們能透過這個方程式, 快速地掌握不同設計的流體性質

像是設計汽車和飛機等都十分受用, 甚至是模擬人體血管中的血液流動, 幫助醫師更了解心肌梗塞的問題

目前在美國若要販賣動脈支架, FDA都規定必需先通過此方程式的檢驗才能做臨床測試

更極端的應用是超音速飛機的設計, 很難靠風洞模擬, 更能顯現這方程式的重要性

 

11. 馬克士威爾方程式 (Maxwell's Equations)

eq11                  

馬克士威爾方程式, 是許多電機系同學的夢魘, 一些細節可以參考Maxwell的傳記

電和磁之間的效應, 最初由法拉第發揚光大, 並發明了人類第一台電動馬達和發電機

但法拉第是實作派的, 雖然他也提出了"場"的概念, 但無法將其數學化

高斯在他的一生中, 也一直試圖一統關於電和磁的方程式, 但無法得願

我想這和當時缺乏像法拉第這樣的人, 能提供源源不絕的實驗數據有關

 

馬克斯威爾便是踏在法拉第, 高斯, 和安培等人的肩膀上, 成功地一統電與磁的方程式

其實在馬克士威爾方程式被實際應用之前, 人類早已有了馬達, 發電機, 電燈泡, 電報, 和電話

它的真正威力, 除了正確地量化電磁關係外, 就是能推論出電磁波的存在

而且其速度正好跟光速一樣, 也因此馬克斯威爾認為光就是一種電磁波

然而這個看似驚天動地的推論, 一開始沒有人看到其應用的威力

直到1886年, Hertz建造了第一個無線電波收發器, 僅管天線間只隔了1mm, 但這開啟了人類無線通訊的時代

現在, 我們生活的四周, 充滿了各式各樣人為的電磁波, 像是手機訊號, Wi-Fi, GPS等

我們已經無法想像沒有無線通訊的生活了

 

馬克士威爾方程式也讓我們對於光有更完整的了解

所以今天我們知道紅外線, 紫外線, 和X光的存在

另外一個特殊的影響是, 它隱含了光速恆定這件事, 因為光速在式子中和參考座標系無關

這也開啟了愛因斯坦在相對論上的研究

 

12. 熱力學第二定律

eq12                

式子中的S指的是熵, 其原始定義為熱能(q)除以時間, 即為熱傳導的速率, 後來連結到亂度的定義上

相對於熱力學第一定律(加入熱能後的能量守恆), 第二定律的內涵比較難懂

它告訴我們,  一個封閉系統的亂度(熵)只會越來越大, 秩序只會越來越亂

就像瓶子摔碎在地上很正常, 但要能看到這些碎片自然地拼回一個瓶子是不可能的

如果我們把瓶子摔落的畫面錄成影片, 那麼逆過來播放的過程為何那麼不自然呢?

感覺上不就是所有分子的路徑反過來而已嗎?

一個絕對的差異就在於瓶子掉落並且摩擦地面時, 所釋放出的熱能

在逆過來的過程中, 不自然的部份就是因為熱能不會反過來變成摩擦力, 這就是不可逆的因素

也因此熱能消逸和亂度是緊密相關的

 

熱和溫度是不一樣的東西, 溫度有其絕對的定義, 但熱指的為溫度狀態的改變

討論相關現象的理論, 一開始我們有理想氣體定律PV=nRT

其假設空氣是由一群完美的分子組成, 碰撞不會消逸熱能

雖然這假設不真實, 但這定律能預測許多現象

接下來由馬克士威爾與波茲曼發展出來的統計熱動力學登場

傳統的熱力學, 只管宏觀的性質, 不管微觀的結構和特性

而波茲曼提出宏觀態的熵, 應由許多微觀的統計特徵所對應, 於是提出以下方程式

eq12-1  

其中k為波茲曼常數, W為個別微觀態的數目

於是微觀態越多, 整體就越混亂, 而熵S(亂度)就越高

 

熱力學第二定律指的就是, 系統的熵因為熱能產生, 其整體的熵只會越來越高, 系統越來越亂

而局部的熵可以被降低, 例如颱風過後原先街道很亂, 經打掃後變的乾淨有秩序

為了降低熵, 就必需從外部消耗能量

因此局部的熵雖降低, 但其實只是把混亂丟到外面去, 這跟冷氣機的道理很類似

所以人類為了維持社會的運作, 就必定會不斷地破壞環境以維護內部的秩序

第二定律另一個隱涵則是, 時間軸是有方向性的

我們所生活的宇宙中, 時間越增加其熵就會越高, 也因此若第二定律成立則時間是不可逆的

 

13. 相對論

eq13                  

愛因斯坦的相對論分為兩個部份, 一是1905年的狹義相對論, 另一是1915年的廣義相對論

其內容與數學深度差異非常大, 狹義相對論概念上很好懂, 數學也很簡單

但廣義相對論花了愛因斯坦十年的功夫去發展, 因為數學工具不足而沒有進展

最後因為幸運地得知從高斯和黎曼發展出的微分幾何已十分成熟, 採用了這些數學工具才完成

 

牛頓力學裡早就知道速度是相對的, 但沒有對這個現象做出運動定律的修正

而馬克士威爾方程式告訴我們, 光速在任何座標系下都為定數, 和相對速度無關

光速為定數這件事, 在1887年由歷史上最著名的實驗之一, 邁克生莫立實驗所證實

另外在1895年時, Lorentz就大膽提出, 如果運動的物體順著運動方向收縮一點的話, 那光速就能恆定

在這些背景下, 愛因斯坦在1905年把以上的線索整合成一套在相對運動下的牛頓力學修正法則

對於一個觀察者, 在和他呈相對速度v的運動系統裡

他會覺得在該系統裡的時間t, 長度x, 以及質量m, 有以下的改變

eq13-2  

其中eq13-1  為Lorentz factor

也就是時間會變慢, 長度變短, 而質量會變大

更有趣的是, 愛因斯坦隨後又發表了一篇僅三頁的論文

裡頭論述著, 若以上法則為真, 則可以推得出靜止質量m, "似乎"帶有能量E=mc^2

這就是作者為這章選擇的方程式由來

(這篇三頁論文我認為是簡潔有力的經典, 被我放在辦公室的前面以激勵自己)

 

然而廣義相對論就複雜許多, 其探討的是重力的本質

牛頓提出萬有引力定律時, 並沒有給出引力的成因

他甚至在<自然科學的哲學原理>一書裡提說他不做(多餘)的假設 (因為對於牛頓的計算, 引力的成因不重要)

狹義相對論讓愛因斯坦認知到, 時間和空間並非獨立, 反而是密切相關

他因此用微分幾何, 為四維時空列出了愛因斯坦場方程式, 都以張量來表示

結論則是, 質量會扭曲時空, 而重力為其表象, 在重力不大狀況下, 萬有引力的平方反比率為其近似結果

後來水星的進動, 以及重力透鏡的實驗都證實了廣義相對論能精準的預測測量結果

現在的宇宙學許多也都根基於廣義相對論, 例如從方程式裡可推論出黑洞的存在

 

相對論到目前為止, 都是人類描述大規模世界最準確的理論模型

但它的應用並非看似遙不可及, 像是要接近光速等

我們現在習慣使用的GPS技術, 是從衛星固定發射出電波給地表的接收器

然而狹義相對論預測其時間每天會變慢7微秒, 而廣義相對論之重力影響使之變快45微秒

一漲一消使得衛星每天會變快38微秒, 這對GPS演算法來說是可允許誤的1500倍

也因此, 如果沒有相對論, 我們今天就沒有精準的GPS導航可以使用了

 

14. 薛丁格方程式

eq14                    

相對於相對論是用來描述巨觀的世界, 人類目前對於微觀世界的最佳詮釋就是量子力學

而薛丁格方程式為其核心

其中Ψ為波函數, H為哈密頓運算子

對於不同的波函數, 像是動量或位置等, 都有其對應之哈密頓運算子

而薛丁格方程式描述了波函數如何隨著時間演變

 

費曼曾說"沒有人懂量子力學", 指的是其違反人類直覺的特性

它定義的是波函數, 也就是機率雲, 在牛頓力學裡物體在某一時間點的位置和動量都是個確定值

但量子力學則說是個機率分布, 在測量前位置(或動量)都處於一個混沌未明的狀態

而測量這個動作會讓狀態塌陷至你量到的狀態 (哥本哈根詮釋), 接下來再繼續依薛丁格方程式演變

這代表物理世界不再客觀, 它會受到觀測者的影響, 這一點一直讓人們感到匪夷所思

另外, 動量和位置的波函數正好互為傅立葉轉換

傅立葉轉換的一個特性是, 時域和頻域信號的variance相乘會大於等於一個常數

因此我們有了"測不準原理"的物理詮釋

也就是若位置的波函數集中(不確定性低), 則動量的波函數就會外擴, 反之亦然

 

量子力學也帶來許多看似矛盾的論調, 像是"薛丁格的貓"

把一隻貓放在一個牠隨時可能被殺死的箱子裡, 在還沒打開箱子時, 裡面住著是活著和死掉的貓的狀態混合體

有趣的是薛丁格本來的用意, 是想表示哥本哈根詮釋用在巨觀的世界會很荒謬

但出他意料之外的是, 後來的科學家認為這是可行的, 並認真想實現量子電腦 (一次可處理所有平行狀態的運算)

另外還有基於Quantum entanglement的量子通訊, 也是人類現在一直想實現的應用

然而除了這些很像科幻片裡才有的應用, 量子力學其實已經改變了我們的世界

像是半導體和雷射都是建立在量子力學的基礎上

 

附帶一提, 並不是有了相對論和量子力學, 就代表人類完全理解這世界了

如同有了牛頓力學, 我們依然沒有三體運動的一般解

雖然相對論可以計算出水星進動的影響, 但太複雜的系統還是無法處理

而量子力學雖然可以推出氫原子的機率雲, 但對於像鐵這麼複雜的系統, 量子力學還是無法給出解析解

 

15. 資訊理論

eq15                      

Information theory幾乎是從Shannon一人獨自發展出來 (細節可看這裡)

它討論的是傳輸的資訊的量的問題 (而非"質"的問題, 像是"1+1=2"和"1+1=3", 量相同但質不同)

如果一篇文章從頭到尾只寫了一萬個"一", 看似檔案很大, 但資訊卻少的可以

Shannon神奇之處在於僅用了三個基本的假設, 就把資訊量用上面的公式數量化

其中的H為熵, 一樣代表著亂度, 但和熱力學裡的不一樣, 而p(x)為x符號出現的機率

資訊量和機率息息相關, 像一萬個"一"代表著"一"的機率接近為1, 因此H會接近於0

經一些數學推導, 可知H在所有符號機率相同時最高, 也因此若機率不相同就有了壓縮資訊量的可能性

 

Shannon的資訊理論開啟了現代通訊的大門

它可以給出通訊通道所能傳遞資訊量的理論上限值, 這也是所有通訊相關研究的目標

它也能給出資料壓縮的極限值, 熵編碼早已成為所有壓縮技術的基礎

我們在使用手機, 看臉書上的圖片, 或是Youtube上的影片時, 用的都是Shannon這方程式所帶來的果實

 

16. 混沌理論

eq16                        

大眾對於混沌理論最熟悉的印象應該就是"蝴蝶效應" 

也就是一隻蝴蝶在巴西扇動翅膀會在德克薩斯引起龍捲風嗎?

 

我們已經知道, 即使有了牛頓力學, 我們還是無法完全預測三體運動的結果

但混沌理論指的不是這種沒有解析解帶來的不可預測性

它指的是在非線性系統裡, 即使每一步你都能算得出來, 但結果依然可能呈現近似隨機的結果

作者選擇的這個方程式, 是生物學家用來描述一個物種隨時間的數量變化的函式

其中x_t代表在時間t物種的數量, 0為滅亡, 1為該系統能容忍的最大數量, 而k為一個常數

自然界裡的物種數目被發現會隨時間看似呈亂數變化, 以往都認為是因為有無法預測的因素出現, 像是天敵等

但這方程式不僅能成功預測自然界物種變化, 若你代入數字去算, 會發現結果呈現的就是接近亂數!

因此即使系統本身是可預測, 但其結果依然可能會呈現亂數

 

混沌效應的另一個來源是系統的不穩定性

這種非線性系統對於初始值很敏感, 再小的誤差經時間累積後都會產生完全不同的結果

這也是為何遠方的蝴蝶拍個翅膀, 有可能會改寫所在地天氣的原因

然而混沌理論目前的主要應用還是在科學思考上

 

17. 布萊克休斯方程式 (Black-Scholes Equation)

eq17                          

這是用來形容金融衍生性商品隨時間的價格變化的方程式

因為大家都對它深信不疑, 後來間接導致了2008年的金融危機

作者主要的論述是, 這種方程式本身都有其假設, 一旦這些假設不成立了, 就不該再迷信這些方程式

像是這個方程式的假設是, 衍生性產品不具風險, 而且沒人可以用不同的價格出售

金融業者的作法是, 利用這方程式"預先"得知該衍生性產品隨時間的變化, 並在價格高點前進行交易

而這種紙上富貴的操作, 讓衍生性商品的交易量在2007年達到1000兆美金!!

過去一千年, 全世界的製造業所製造出來的商品, 總值也才大約100兆美金, 可見其誇張程度

當然, 這泡沫後來就崩盤了, 其真正的影響可能才剛要開始而已 (之前被QE壓了下來)

作者在最後舉了這個方程式當作負面的例子

我想他應該是想強調, 方程式沒有對錯, 問題都是在使用的人身上, 在使用當時有沒有理解背後的假設

 

最後, 我個人認為最大的方程式遺珠是 1+1=2, 它表達了最基本的運算和等號本身的意義

或者至少應該入選一個代數領域的東西, 都會比最後一個布萊克休斯方程式好

 

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