接下來數學史將進入最輝煌的十九世紀

由高斯打頭陣的數學家們..開始將數學證明嚴謹化

也開始在不同方向嘗試數學的極限


17. Gauss - 高斯 (1777~1855, Germany)

著名的神童..世人稱Prince of Mathematics (更詳細的介紹在 讀後感: The Prince of Mathematicians - Gauss)

在數學四大領域皆有非常重要的貢獻

也對應用科學像是大地測量, 天體軌跡, 電磁學等做出重大的突破

對代數基本定理給出第一個嚴謹的證明

其博士論文被稱為帶著七個封印的書..後來也啟發了許多數學家

其座右銘為"Few, but ripe."

不到自己覺得完美的研究不會發表

這也導致他許多重大的發現在他死後好幾年後才被世人知道

也讓許多後繼的數學家在不知情下..又"重新"發現他已發現的東西


18. Cauchy - 柯西 (1789~1857, France)

非常多產的數學家..甚至有點overproduction

給出許多數列收斂性的嚴格證明

在組合學和複變分析都有貢獻

他也是非常狂熱的天主教徒..一有機會就會對人傳道


19. Lobatchewsky (1793~1856, Russia)

破天荒提出非歐幾何的第一人..證明不需平行公設..依然能有consistent的幾何系統

也因此人們開始思考一些公設系統中是否有多餘或與其它獨立的公設

在當大學校長期間..因為缺乏經費..得親自保養圖書館裡的東西..但他也樂此不疲


20. Abel - 阿貝爾 (1802~1829, Norway)

當時挪威尚未開化..是非常貧窮的地方

早期證明一元五次多項式沒有公式解..實為代數的一大步

對未來影響最大的是提出了elliptic function (elliptic integral的反函數)

elliptic function的發展將是19世紀數學最重大的突破

然而他寄給高斯看的論文被冷落..造成他怨恨高斯一輩子 (高斯自己早就發現elliptic function了)

他也特地周遊當時數學聖地德國和法國..希望能獲得讚賞進而取得教職

寄給法國皇家學會的重要論文卻倒霉地被弄丟

最後失望地回國..年紀輕輕就於26歲過世..應該與早年因貧窮造成營養不良有關

最令人感概的是..他的好友幫他爭取到的柏林大學教職通知信在他死後兩天才寄到


21. Jacobi (1804~1851, Germany)

非常認真的工作狂..對於別人問他為何如此勤勞

他則是回說"當然可以什麼都不做..不過看看高麗菜帶給世界什麼"

主要貢獻是推廣elliptic function..最早看出Abel貢獻的人

最重大的突破是將elliptic function和看似毫不相干的theory of number結合在一起

(為Fermat last theorem能被證明開啟了第一步..不過當時誰也猜不到這結果)

47歲便過世..應該與長期過度操勞有關


22. Hamilton (1805~1865, Ireland)

愛爾蘭有史以來最偉大的數學家

從小就是語言神童且廣為人知

在愛爾蘭的三一學院的大學部畢業後..直接被聘為教授

其關於Systems of Rays的論文是傳統物理中最接近量子力學的描述

他最愛的發明則是quaternion (四元數)..這種數的乘法不遵守交換律

這也開啟代數的新的一頁

如同從歐氏幾何裡拿掉平行公設..這隱含了代數系統裡交換律也不是必要的

但他過度重視四元數..認為那將可以和牛頓的發明相同並論..以至於做了過多不必要的研究


23. Galois (1811~1832, France)

集天才與愚笨於一生的悲劇人物

雖然是天才..但無法通過法國最好的大學Polytechnique呆板的考試

在取得不到認可之下..開始參與政治活動

最後因為無聊的決鬥而死亡..在21歲就離開人世

在決鬥前一天..他自知生命即將結束..他把握時間地寫下他的研究結果託付給他的好友

這Galois theory是代數的重大突破..其能連結field theory和group theory

死之前的遺言是"Don't cry. I need all my courage to die at twenty."


24. Cayley (1821~1895, England)

在找不到大學職位下..當了14年的律師

因與Sylvester相遇開啟了學術的大門..也成為一輩子的朋友和研究伙伴

主要的貢獻是不變量, 矩陣, 和多維的解析幾何


25. Sylvester (1814~1897, England)

和Cayley雖是好友..但個性完全不同..他的戰鬥力十分旺盛

63歲時還和遠渡大西洋到美國..幫助Johns Hopkins University開啟數學研究的大門

主要的貢獻是不變量和矩陣..Matrix一詞便是由他所創

最後於研究中過世


26. Weierstrass (1815~1897, Germany)

後人稱Prince of Analysis..為現代分析之父..將微積分的理論基礎打的更紮實

然而他的生涯一開始不是很順遂

從26歲開始總共當了15年的中學教師

不過他最偉大的研究都在那段期間完成 (白天教書..利用晚上自行研究)

後來終於被人發掘成為大學教授..最後也成為德國人心目中英雄的代表

對於無理數..他給出了用無限數列逼近的定義

(哲學上來看..則代表對於真理..人類永遠無法真正了解..只能不停地逼近)


27. Boole (1815~1864, England)

自小家庭貧困..但天資聰穎的他永不低頭..不斷地找尋能讓自己脫離貧窮的方法

他所有的東西幾乎都靠自學

在經過幾次失敗後..終於在數學上找對了路

終於在34歲時成為Queen's College的教授

39歲時完成他的代表作"The Law of Thought"

或許就是因為他未接受過正統的教育..才能想出別人連想都想不到的新領域

其最大成就為Boolean algebra (布林代數)..為Symbolic Logic的祖師爺..將人類邏輯推演數學化的第一步

那也是現代computer logic的基礎..沒有它就沒有電腦

後期變成只會講講但一直沒有進行研究的人


28. Hermite (1822~1901, France)

從小就能讀懂許多數學家的巨作..但小時右腳有缺陷行走不方便

他和Galois一樣不善於考試..差點重蹈他的覆轍

但這次Polytechnique似乎記得他們之前的錯..最後讓Hermite過關

Hermite證明了自然對數e是超越數

另外也證明了一元五次多項式的根式解可用elliptic function表示 (非常驚人的連結)


29. Kronecker (1823~1891, Germany)

曾經因為繼承家產停止數學一陣子..期間也賺了不少錢..最後還是回到數學的懷抱

主要的貢獻在theory of number, theory of equation, 和elliptic function上

他是開啟新一代對於無理數和無限大質疑的先鋒

名言是"God made the integers. All else is work of man."

要求所有數學證明和理論應該都要建立在整數上..其它都是怪力亂神

這也讓Weierstrass吃盡了苦頭..個性溫和的他也禁不起Kronecker一再的刺激


30. Riemann (1826~1866, Germany)

出生於當時Hanover的一個小村莊..家庭非常貧困

他以解析幾何留名於世..比較偏向是physical mathematician

他的博士論文講的是複變分析..並且很難得地獲得高斯少見的讚美

然後為了取得講師資格準備了一個演講..內容是劃時代的Differential Geometry (微分幾何)

這亦得到高斯高度的讚賞..也就是這個數學工具建立了廣義相對論

Riemann geometry定義的manifold, distance, curvature都是廣義相對論的根本

他本人早已有curved space的概念..若他能多活幾十年..可能相對論就會早半個世紀出現了

他是繼Dirichlet後第二個接替高斯原來職位的人 (高斯接班人已成為一種榮譽)

然而可惜卻在39歲英年早逝


31. Kummer (1810~1893, Germany)

主要貢獻為theory of number

對於Fermat's last theorem他證明了某些n是成立..這些n又稱為ideal number

為這個終極題目又跨進了一大步


32. Dedekind (1831~1916, Germany)

高斯的最後一個弟子

在theory of number有重大貢獻

對於無理數..他提出Dedekind's cut的定義


33. Poincare (1854~1912, France)

The Last Universalist..最後一位能在各個領域都有貢獻的數學家

擁有過目不忘的視覺記憶力..但也造成他的視覺不佳

不過他同樣能把聽到的東西全都記起來

對於天體力學中棘手的three-body問題有重大的進展

他也曾試著從心理學的角度來理解數學家究竟是如何思考的


34. Cantor - 康托 (1845~1918, Germany)

最重大的貢獻就是set theory (集合論)的發明..已成為數學一個重要的分支

然而從set theory裡..尤其是牽涉到內容為無限多的集合..會產生許多奇怪的詭論

也因此他被捲入了當時對於無限大概念質疑的風暴中

Hilbert曾說Cantor帶給大家的是數學的天堂..然而這天堂似乎是崩落了

Cantor因為個性膽小又自信心不足..在爭論中因精神錯亂住進精神病院..也在那裡結束他的生命


本書作者只將數學史紀錄到這裡

不同數學家有不同的故事..累積起來就是非常豐富的人生經驗

每當哀歎事情不如預期的時候..得想想這些前人如何在更糟的環境下改變世界的

之後的20世紀是物理和電腦的世紀

其實人類在每個階段都會有某些領域發展到飽和的狀態

令我好奇的是..究竟21世紀是什麼的世紀呢?


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