因為高斯..高中的我才開始認真讀書 

(詳情請見無厘頭的尋找傳說中的十七芒星 :p)

這一次..最近有點迷惘無力的我..又再次因為他的故事燃起了鬥志..


高斯與阿基米德和牛頓被並稱為人類史上三大數學家

數學王子是他另一個稱號

然而這些都無法了解他的豐功偉業

透過E. T. Bell這本經典的Men of Mathematicians (1937年出版)

我才第一次仔細地了解高斯的力量

這本書大部份的數學家只佔10~20頁..但高斯一人佔了52頁..是所有人最多的

這樣大概就能稍微知道他的數學影響力了


高斯於1777年4月30號..出生於德國的一個小地方Brunswick (Braunschweig)

家境基本上可以用窮來形容

父親是以勞力為生的工人..母親在34歲才嫁給他父親 (在那時算很晚結婚的吧)

若要說他的天資是遺傳哪邊的話..一定是母親那一邊

尤其他的舅舅Friedrich..在他小時候教了他不少東西

雖然之後不幸早逝..但他的名字之後都以Carl Friedrich Causs的形式留在許多數學大作中


關於他小時候的神童故事..普遍留傳的有兩個

一個是他三歲時..在父親的旁邊看著他算給其他工人的薪水

突然間他發現父親算錯了..並且糾正了他..最後也證明他算的才是對的

另一個是小學才剛教完加法..老師出了一題81297+81298+...+10899之類的題目給大家算

小高斯很快的寫了一個數字上去..本來老師以為這小孩沒救了

後來才知道小高斯竟然自己發現了梯形公式的快速算法!!

此外高斯對於某些重要的事情..擁有像照相機能力的記憶力

對於自己小時候的事..他自己是說他在說話前就會算算術了

了解他嚴肅個性的人..會知道他不是開玩笑的


由於家境的關係..他父親根本就不認為他的小孩需要唸什麼書

幸好透過一些識才的人的介紹..當地的公爵接見了他..並且樂意提供他唸書需要的金錢

公爵是他一生的大恩人..他的資助甚至到了高斯成家時都還延續著

在公爵的幫助和母親的強烈堅持之下..高斯才能順利地進入歌廷根大學唸書

在進入歌廷根大學之前..他18歲時早就發明了最小平方法(least square)

然而在大學的第一年..他必需在數學和語文學中選擇未來的專攻

(高斯在語言方面很有天份..60歲時無師自學俄文三年..聽說讀寫就能非常的流利)


1796年3月30號..他完成了正十七邊形的尺規作圖法

(之後延伸出只有費馬質數的正奇數邊形才能用尺規畫出)

這是人類史上的一大突破..因為上一個已知的正五邊形是一兩千年前的事了

這也讓他決定了數學是他的志業

同時他開始將自己的研究紀錄起來..而十七邊形是第一頁

該筆記紀錄了他1796到1814年間的研究

總共有146個研究發現..而且大部份都是沒有發表的


高斯對於發表研究結果一直沒有太大的興趣

一直到他過世後40幾年..有數學家跟他的子孫借他的筆記來看

才發現他的研究涵蓋了許多領域..早早領先很多人幾十年都有

有人認為他的研究如果都有發表的話..人類的數學會進步快50年

因為許多後來的數學家就不用浪費時間在他早已發現的舊路上了

然而對於他為什麼不喜歡發表這件事..一直有個傳說

那就是他曾經把他的博士論文投稿到French Academy of Science但被拒絕了

導致他不喜歡投稿論文..不過這已遭到French Academy of Science的否認

他們的資料庫裡從來就沒有這件事過 (這悶虧也太大了一點)

高斯個人的想法是..他研究主要只是讓自己了解這些事情

他不認為他有必要去告訴別人他發現了什麼

而且他對於還未完善的理論..他不認為有發表的必要 (他的完善定義很嚴格)

他的第一座右銘就是"Few, but ripe." (我個人很喜歡..但始終做不到)


他人生的第一個鉅作就是1799年在University of Helmstedt寫的博士論文

"Disquisitiones Arithmeticae" (Arithmetical Researches)

這給出了人類史上第一個真正的代數基本定理的證明

代數基本定理講就是任一一元n次複係數方程式..都正好有n個複數根

數學其實是在高斯之後才開始嚴格要求數學理論的證明

這本鉅作共有七章..被人稱為帶有七個封印的書..因為簡潔的風格其實很難讀懂

第八章因為出版社沒錢砍掉了..他的論文因此也等了快一年才印

(那個時代資源很少..很少人有幸能擁有他的論文..比起我自己亂印了一堆沒人看..真是諷刺)

內容講的都是算術(Arithmetic)相關的重要定理

他在裡面也給出了現在我們用來表示複數(a+bi)的座標法..複數就是一對實數座標

複數乘於i等於逆時針旋轉座標90度..乘兩次就是180度..於是1乘i兩次就是-1

這樣的定義之下..虛數一點也不虛幻了

他甚至使用了寫成a+bi..而a和b都是整數的這種特殊數..後人稱為Gaussian integer

這開啟了算術證明的另一扇大門

裡面也放進了他在19歲就證明的law of quadratic reciprocity (據說很重要:p)

此外同餘(congruence)這概念和符號也是他發明的

許多先前被證明的定理..在他的書中都變成只是一定理中的特例而已

例如費馬(Fermat)曾證明的每一個能寫成4n+1的質數都能寫成兩個平方數的和


他以他的博士論文就讓自己成為Laplace認為的世界第一的數學家了

既然他是算術界的第一把交椅..也說過"數學是科學的皇后, 而算術是數學的皇后"

那麼他對於算術中最有名的難題"費馬最後定理"不理不睬的態度讓許多人感到好奇

(費馬最後定理在1995年被數學家Andrew Wiles用快400頁的證明解決了)

他的回答是..他研究數學是為了想了解某一些性質才去建構他的數學理論

並不是為了單純解問題而解問題..像"費馬最後定理"這種似是而非的定理

他可以舉出相當多種類似的題目..但去解它們而不是為了某些科學目的是不合理的

從這裡可以看到..高斯實事求是的態度..從他之後一直結合理論和實作的研究也可以不斷看到


在18世紀的最後一年完成博士學位後..他也進入了人生的另一個階段

雖然一直有公爵的支援..他的個性是不喜歡受人幫助的

所以他試圖要靠著自己的力量生存

19世紀初人類發現小行星帶裡最大的一顆小行星Ceres

但它的軌跡一直無法被正確計算

高斯靠著他天生的數學能力..成功地計算出其軌道

也因此進入了歌廷根天文台..獲得了一份正式的工作..他在那裡待到生命的最後一天

他一方面認為去思考費馬最後定理是浪費時間

但另一方面為了保有天文台的正職

他接下來20年..時間大部份卻都花在計算像Ceres軌道這種事情上

後來的人當然為認為這實在是太浪費他的時間了..也讓人類的數學少了至少20年的進步

但這卻讓我理解到..高斯為了生存也是得花時間在自己不是很願意的事情上

這絕對不是浪費時間..而是對自己人生的一種交代

他無法選擇他的父母..但他選擇了靠自己力量的生存之道

而且重點是..在這些龐大的計算勞力之下..他還是能保有一定的數學產出!!


然而19世紀的前幾年發生了許多事..也讓他本來沈默的個性更加沈默

首先是Brunswick公爵在和拿破崙的戰爭中受了重傷..在1806年過世

戰爭過後拿破崙要求德國人付戰爭的支出費用..他被要求支付2000法郎

這超過了他所能支付的費用..Laplace得知後很好心的幫他在巴黎支付這筆費用

高斯知道後拒絕Laplace的幫助

同時有人匿名的寄給他一筆錢..因為不知道是誰..也無從拒絕

於是他將2000法郎連同利息一併寄還給Laplace..真是個硬漢!

失去了公爵的支援..他的經濟來源岌岌可危

幸好當時在許多人的幫忙和推薦下..他獲得了天文台director的職位

後來有很多人想出高薪挖角..但都被他拒絕了

1808年高斯失去了他的父親

而1809年他老婆幫他生下第三個小孩後難產過世

這讓他非常的難過..雖然之後再婚有些幫助..但他也越來越封閉

甚至到他人生的最後27年..都是在天文台睡覺而不回家了


他1800年後的研究大致上可分為以下三個階段

1800~1820年首重在天文學上

1820~1830年改為大地測量學和幾何相關領域 (如微分幾何)

1830~1840年電磁學..他還和Weber一起做出了人類的第一個電報機!

他一直對於電磁學沒有美妙的數學公式很執著..若他看到Maxwell的結果不知道會是什麼表情

(不過4條方程式中有兩條冠上他的名字..應該也夠了)

他未發表的研究中..以複變函數, 橢圓函數, 非歐幾何與微何幾何對未來影響最大

許多後來的數學家都重新再發現一次高斯已發現過的東西


高斯生前最後幾年雖然身體不適..但一有機會還是努力的工作

直到1855年2月23號..結束了78年精采的人生

他永遠都會活在數學的世界裡面


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草菇最近問了我一個問題..我那麼喜歡高斯..只是因為他很聰明嗎?

嗯..若是說聰明的話..能和他同水平的人還是有吧

但他那麼年輕就做出正十七邊形..讓年輕的我震憾不已..也開始了我的讀書之路

結論應該是..對以前的我..是敬佩高斯..欣賞他"Few, but ripe."的態度

但現在又有了不同的體會

他出身貧窮..靠自己之力成為史上最偉大的數學家之一

卻又不像牛頓在晚年貪圖權力和金錢..他一生都過的很簡單

他不逃避為了生存所需付出的勞力和時間

但他對於研究的興趣也一直不間斷的進行著..不會是只是空想或是埋怨

這種態度是我現在缺乏的..讓我也開始期許自己培養出像他一樣的毅力和堅持


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