這本書從一開始就打著要顛覆傳統經濟學的旗子出發
所需的數學基礎不高
但是作者出神入化的數學技巧很容易讓像我這種凡夫俗子陷入迷霧中
所以我只想把概念上東西加以整理
而數學理論的美妙只能讓它停留在當時弄懂的一刻吧!
本書主要的轉折性概念如下:
1. 先前經濟學使用的數學工具不對
2. 證明Utility(效用)確實是可以數值化的
3. 提出Game和Strategy在數學上的嚴謹定義
4. 證明Two-person zero-sum game的所有解以及相關例子 (本書最精華之處)
5. 證明Three-person zero-sum game的所有解及引進Coalition (結盟)的概念
6. n-person zero-sum game的推廣
7. General non-zero-sum game的推廣
以下簡述每個概念的內容:
1.
傳統經濟學主要可分成語意描述派和數學派
而其中所用的數學模型都被建立成一般多變數函式的最大化問題
於是所用的工具便是在物理學上獲得極大成功的微積分
但是作者認為該數學模型不正確..所用工具更是牛頭不對馬嘴
於是認為應該有為經濟學問題建立的新數學模型
他們的想法是..傳統經濟學將問題想成一群變數共同去最大化某一函式
但是這在現實生活是不合理的
首先每個人都只想最大化自己的效用
並且每個人的效用都會受到別人動作的影響
也就是問題應該被想成
每個人的效用函式都有不受自己控制的變數(別人的動作)
在這種條件下每個人如何決定自己的動作以提高自己的效用
這問題已不是傳統的多變數函式最大化的問題
2.
作者提出效用(Utility)是可以被數值化的
先決條件就是 (1) 人可以決定什麼比較重要 (2) 允許機率性的組合
簡單來說就是..如果每個人對於像
"一個是一台Cefiro..一個是30%機率是BMW和70%機率是March..你要選哪一個或是等價?"
這種問題都能回答的出來的話
那麼就可以證明Utility可以被數值化
例如: Utility(Cefiro) = Utility(BMW)*0.3 + Utility(March)*0.7
(這裡是機率的引進解決的第一個問題)
3.
Game被定義為一堆規則的集合
這些規則描述了在所有玩家給出動作後..每個人所得到的Utility
以大老二為例..Game的定義就是那堆決定牌大小的規則和結束時錢的算法
而Strategy指的是每個玩家自己擬定的策略
該策略詳述如果別的玩家的動作是如何..我又該如何動作
所以Game theory面對的問題就是
在給定一個Game底下..如何去選定最合適的Strategy
(其實Game theory比較像是Strategy theory才對..
不過Game theory的名字比較吸引人..取名也是有天份的)
而Solution的定義非常巧妙..也體現出與傳統數學工具的不同
首先在各玩家決定Strategy後就依照規則決定出一組imputation
用錢來說的話..imputation就可想成財產分配
在不同的imputation X和Y之間..若有一些玩家在X的效用都大於Y的效用
那麼就定義為 X dominates Y
Domination性質很特別..首先是它沒有transitive的特性
也就是A dominates B, B dominates C不代表A dominates C
(因為前兩個domination成立的玩家可能不同)
甚至有可能X和Y互相dominate
一個Solution被定義為一些imputation的集合
(1) 在這集合中的imputation互不dominate
(2) 在這集合外的imputation一定被集合中的某一個dominate
而且Solution可以有很多個
作者把Solution在社會的現象解釋為"Standards of Behavior"
以宗教來說..世界有不同的宗教群
沒有說哪個宗教比哪個宗教好
於是Game theory追求是像Solution這種互不相斥的靜態穩定(Static Equilibrium)
也就是只有"合適解"沒有"最佳解"
(題外話..這個概念實在是很有人生哲理啊)
4.
接下來作者開始解決最基本的兩人零和遊戲(two-person zero-sum game)
也就是玩家只有兩人..最後每個人得到的Utility相加為零
這就使得一個玩家的gain就成為對方的loss
這時要考慮的只剩一個函式..以玩家一的Utility來說
玩家一會試圖最大化它..而玩家二會去最小化它
這就是馮紐曼提出的經典Minimax problem
如今在許多領域都有用到
經過一連串的數學定義和證明
作者證明若整個遊戲過程中..玩家雙方都能完全掌握發生的所有事情
那麼這個遊戲可以解出唯一一個最佳的決定性Strategy
這代表如圍棋, 西洋棋, 象棋等在理論上是有決定性的最佳玩法
但是實際上要真的算出這個玩法並且由人類來定成應該是和準確的預測天氣一樣困難 (不是理論上的難而是實現上的難)
但如果這個遊戲雙方在過程中有一些資訊無法掌握
那麼如上的決定性最佳Strategy是無法證明一定存在的
代表性的遊戲就是Poker (ex. 十三張, Black Jack, 大老二等)
此時作者引進了Mixed Strategy的概念
也就是在策略中允許隨機的動作
例如20%機率出黑桃二..80%機率出梅花三
經過非常神奇的推導
唯一一個最佳Mixed Strategy是存在的
(ps. 這段證明真如神來一筆..但在第二作者的回憶錄中..有說這證明是另一位數學家提出的..馮紐曼本來的證明都牽涉到高深的數學)
於是可以得到一個結論
所有的兩人零和遊戲都有最佳解
若有一方使用該(pure or mixed) Strategy..而另一方沒有
那麼前者的(deterministic or average) gain會大於後者
(簡單來說就是"贏定了"!)
接著作者將這解法用來分析一個經簡化的Poker Game
但一般Poker Game的精髓都留著
得到很有趣的結果
在拿到比某種牌型A弱的情況下
要遵從某個機率有時候拉高賭注(Bluffing)..有時候要pass
如果牌比A強..那麼就一定是拉高賭注拼下去
這證明出來的解和一般厲害玩家的手法是一樣的
並且告訴我們一件事..適度Bluffing是很重要的
要讓別人猜不透你的牌就靠Bluffing
但如果有一定把握就不顧一切拼了
5.
當零和遊戲多加入一個玩家變成三人後
情況就出現轉變了
這時候玩家一的gain不必然是玩家二的loss
作者經數學推導以及巧妙的圖示解法後
得出Three-person zero-sum game有兩個Solution
第一個是可以直覺判斷出來的
兩個人結盟並平分得到的好處..剩下的那個人完全輸光
第二個証實了Game theory可得到非傳統的結果(但符合事實)
也就是兩個人結盟但好處分配比例不定
此外還會給剩下那個人一些補貼..使他不致於完全輸光
這裡首先告訴我們Coalition(結盟)現象是可證明且自然的
不需要像傳統經濟學裡是"假設"來的
(若兩人結盟又可視為一個玩家..就退化成一個Two-person zero-sum game))
而且另一個有趣的現象Compensation也出現了
就是為了要使得結盟可行..三方在談判過程的角力互相有暗盤也是正常的
另外可以引申出一個有趣的現象
若三人有兩人是同等強勢而第三人是相對弱勢
反而前兩人會搶著和第三人結盟
結果是第三人輸的機率反而比另兩個人小
6.
接下來作者將Game theory推廣到n-person zero-sum game上
Game theory最大的缺點就是
分析的複雜度隨著n變大成指數性的上升
作者已無法完全解出four-person zero-sum game
只能就一些特定例子作分析
不過作者希望有天能有類似熱統計力學的理論出現
它建構在牛頓力學上..但是真正對一群氣體計算準確的行為是計算上不可行的
然而還是能發展出一套理論並對真實世界發揮影響
作者期望他們提出的是未來經濟學的數學基礎
並且有一天能有人發揚光大
7.
由於一般的經濟問題都不是zero-sum..於是作者對一般的non-zero-sum game作出推廣
他們的方法是對於n-person game引進一個"特別"的玩家
他的gain剛好就是原來n個人的和的負數
這樣便把問題變成一個(n+1)-person zero-sum game了
不過這裡的第n+1個玩家是不能對前n個玩家的gain作出任何影響的
最後作者有對一些非常基礎的經濟學問題
利用Game theory作出分析..可以得到和傳統經濟學類似的結論
然而在數字上更為精確
以上整理我想大概只涵蓋了本書不到60%的智慧
剩下的不是我不懂..就是必需親自仔細翻看才能了解的
在這特別版的最後有附上第二作者描述他和馮紐曼的合作過程
可以看見馮紐曼旺盛的的精力和求真的勇氣
看完心中只浮現"真正的研究就是如此啊!"
崇高的理想 (建立新的經濟學數學原理)
不求回報 (本書的寫作完全沒有補助..甚至出版時第二作者還得找朋友來贊助才能出版)
努力不懈 (兩位作者因為本書成為莫逆之交..兩個人常如膠似漆的一起工作)
勇往直前的勇氣 (雖然知道會有很多人反對本書內容..甚至可能要等下一代才有人能接受)
我覺得非常的慚愧
我對自己以前常濫用"研究"這兩個字而慚愧
自以為自己懂什麼叫"研究"而慚愧
如果我未來要走"研究"路線..一定要以本書為借鏡勇往直前!
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