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費曼一直是我的偶像
不只是個性..還有他看待人事的態度..甚至到對待物理的方式..都讓我有很深的共鳴
我的性格或多或少有因為他而改變過 (還是本來就有點像?)
不認識他的人..強烈建議去看他最受歡迎的科普書"別鬧了, 費曼先生"和"你管別人怎麼想"
如果有這樣的一位教授..我或許就會選物理為一生的志業了
費曼對教學的建議是..先了解學生為什麼要來上這堂課..以及你要教他們什麼
若想清楚了..怎麼教法自然就水到渠成了
費曼在加州理工學院期間..曾實驗式的為大學生設計一堂物理學入門的課
當時的講稿後來出書成三大卷..分別介紹 基本物理學, 電磁學, 和量子力學
這或許成為費曼遺留人間最大的寶藏
因為它從完全不同以往的方式來詮譯物理現象
雖然內容對第一次接觸的人可能有點艱深
但對於已經"以為自己了解"的人..卻是一趟震憾之旅
這三冊曾經在台灣翻譯成中文過..不過就我的印象..品質很差..錯誤不少
幸好天下文化最近請台大物理系教授高涌泉翻譯第三卷-量子力學
我曾經上過高教授的相對論..他一直說道自己是費曼的fan呢
由他來翻譯我相信品質一定是一等一..所以就買回來看了 (第三卷又被分譯成三冊..可能太厚的關係)
其實我認為量子力學除了可以改變我們看待宇宙的觀點
相同的..也可以改變我們對待事物的看法
較直覺也是較傳統的想法..就是事出必有因..所以事情的前因後果都擁有絕對的路徑
只要你時間夠多..總能理出個頭緒
但量子力學的想法..可以變成所有事情的狀態其實是混雜在一起的
所以你觀測到的表象都只是它的一種"數值"但不是它的"本質"
拿考試分數來說好了..一個人在某學科的能力其實應該是處於某個狀態
而在某次考試所得到的分數..只不過是一個測量的值
所以若A考得比B分數高..就說A的學科能力好是不對的..因為狀態是不能比大小的
但是A考得比B好卻可以在統計上..給出A每次測量到的分數應該比B高..這才是我們所謂A在某學科比B好的真正意思!
此外例如穿隧效應也可以解釋成沒有跨越不過的障礙
我覺得最重要的一個延伸是..世事是無法"絕對"預測的..我們只能預測及改變其發生的機率
我們做的所有努力只是在提高成功的機率..但無法保證絕對成功
這點似乎很多人無法看透
看完這三冊的第一個感想就是精彩!!
以前修的量子力學都是一直在講一堆偏微分方程式和詭異的矩陣運算
陷入複雜運算中的迷宮後反而不能體會量子力學的美和有趣的地方
但費曼用他一貫的手法..利用能讓人了解的"常識"來解釋種種現象和理論
甚至反過來先介紹量子力學最引人入勝的結果和行為
後來才說明在正常量子力學教學下最基礎的薛丁格方程式
以下簡單整理比較口語..或是我覺得有趣的地方
更深入的算式和理論只能看書囉
此翻譯版第一冊講述的是量子行為
在一開始費曼首先強調..科學重點在於其"預測能力"
那些無法預測或無法測量的理論都是沒有意義的 (例如空想著有無限個我們"無法測量"到的平行宇宙)
量子力學第一個最有趣的現象就是無法同時很準確的"預測"物理的位置和動量
(這裡要強調"預測"..也就是已發生過的事件或許可以回推準確的位置和動量..但是無法預測未來)
這也是有名的"測不準原理"
量子力學的一般原理就是"從某個狀態到某個狀態"的機率是某一個複數函數(機率幅)的絕對值平方
違反我們直覺的就是...若在"物理原則"上無法區別的最後狀態(有很多種可能的過程)..
則該機率幅為不同途徑的和 (於是不同途徑彼此有干涉現象)
但若原則上可區別..就要變成機率為不同途徑的和 (也就是沒有干涉現象了)
世界運作的方式真是奇妙!
量子力學中每個物體是用某一個波函數(機率幅)來描述它的"狀態"的
而無論是位置, 動量, 能量都是經由"測量"該狀態得到的"數值"..而並非其真正的本質
並且由於"測量"會改變"狀態"..所以測量的順序是不可互換的..這也是為何不能同時知道位置和動量的原因
波函數描述的就是若你"測量"它..得到"數值"所對應的機率幅
於是我們可以知道..若一個原子是"靜止"的(絕對準確的動量)..則它可能出現在"任何地方" (位置不準度無限大)
要注意的是..量子力學中談的位置, 動量, 和能量..其實在定義上和古典力學都是不一樣的東西
例如具有固定明確能量的粒子的波函數定義為 a*exp(-i*E/h*t)
可知其在處處出現的機率是一樣的..但相位隨時間改變速度就正比於量子力學定義的"能量"
若能量能改變的話波函數變為 a*exp(-i/h*[(W+V)*t-p*x])..W=p^2/2m 為動能
能量守恆在量子力學中就變成波函數相位隨時間變化的速度是固定的
(因為所有條件相對於時間皆固定..其實在相對論中..能量和時間也是有密切關係的)
所以可得 W1+V1 = W2 + V2 ..如果V2很大使得動能W2變負的 (在古典力學中不可能)
則動量p2會變成虛數..和相位的i合併後..波函數實部將得到一個隨指數遞減的函數
也就是古典力學中不可能到達或穿過的V2區域..在量子力學中是允許的
只是若V2區域太寬..則機率隨距離很快就指數遞減接近零
但若V2區域很短 (例如幾nm) ..則粒子是有機會穿過V2的..這也就是"穿隧效應"!!
此時在古典極限(位能的變化很慢)的假設下
可以推在出量子力學中..
位能對位置的變化率(力)與動量對時間的變化率(ma)是一樣的(F=ma!)
(儘管量子力學和古典力學的定義分屬不同的paradigm)
另一個有趣且詭異的量子行為是全同粒子
若兩個粒子a,b在原則上完全分辨不出..則兩個在同一個終態S下的機率幅為 <a,b|S>
但因為它們若交換了也無法分辨..所以終態必需考慮交換的機率幅
此時粒子分為兩類..若是玻色子則總機率幅為<a,b|S> + <b,a|S>..如光子, 介子, 重力子等
若是費米子則總機率幅為<a,b|S> - <b,a|S>..如電子, 核子等
從這裡可推出玻色子有群聚在同一個狀態的效應..這也是雷射的原理 (大量的光子同態)
甚至還可推出黑體幅射正確的能量分布 (其分布情形即來自光是玻色子..無法用古典力學解釋)
此外也可推出兩個費米子不能在同一個狀態裡..因為機率幅為零!
這就是有名的"不相容原理"..也是架構整個化學的基礎
大尺度物質的穩定性和多樣性即來自費米子性質
這也是儘管原子中間十分空洞..但我們不會從地板中穿過的原因!
(關於自旋則是由對稱性來定義的..自旋是量子力學很重要的一部份
但一定要牽涉許多數學..所以只能略過)
第二冊談到的是量子力學的應用
前面提到的都是量子狀態靜態的描述..很自然地會想到那動態的描述呢?
首先量子狀態在數學上可以"類比"成向量..可由基底狀態(可能有無限多個)所線性組成
於是任一狀態都可分解成基底狀態的線性組合
而係數部份Cj(t)其實就是"該狀態到該基底狀態j的機率幅"
量子力學中定義了一個"哈密頓矩陣"..其描述著狀態隨時間變化如下
ihd Cj(t)/dt = sum Hjk(t)Ck(t)
其實Hjk(t)就是哈密頓矩陣..只要知道某系統的哈密頓矩陣就等於能擁有對該系統的完整描述
有了哈密頓矩陣後..就可以拿來計算出每個系統中"能量穩定"的基底狀態
也就是求出某基底狀態集合使得 ih d Cj(t)/dt = Ej*Cj(t) => Cj(t) = a*exp(-i*Ej/h*t)
而Ej就是該系統的基底狀態
從線性代數來看..就是H的eigenvector就是能量穩定的基底狀態集合..eigenvalue就是基底能量
於是對於簡單的雙態系統..可求出兩個分開的基底能量
兩個狀態若能交換的話..將會使得基底能量不同而產生不同能階的狀態
若再加上交換機率與距離的公式..可得出不同能階與距離的公式..進而導出該"場"的力的公式
費曼在這裡給了一個氫原子的簡單例子..最後得出質子與電子的靜電力為距離的平方反比!
這個狀態的交換效應似乎是量子力學來解釋所有"力"的本質的方法
例如核力交換的粒子為介子..而兩電子之間的庫倫力來自於交換"虛光子"
這種"交換效應"似乎有點牽強..但近代的量子力學卻靠它解釋或預言了許多現象
接下來費曼稍微介紹了電子在晶格中如何傳播
和古典力學想像的不一樣的是..量子力學把電子在晶格中看待成許多不同的狀態
很巧妙的是..這些狀態所形成的波包.."看起來"和傳統想像的一個電子在跑的動能是很像的!
最後一章談到半導體的基本原理..和以前電子學教的差不多..但對於每個假設都講的很清楚
只不過似乎和量子力學沒有多大關係..反而跟統計熱力學比較有關
第三冊談的是薛丁格方程式
在一開始將前面量子狀態可用基底狀態的想法延伸
基底狀態可能有無限多個..此時原來離散狀態下的"和"變成了"積分"
最基本也是最重要的基底狀態就是位置
當把波函數用位置(x,y,z)來表示時..它對於時間的變化可寫成薛丁格方程式
方程式內容為波函數對時間t的偏微分等於 波函數對位置的二次偏微 與 位能函數乘上波函數 的線性組合
有了這個式子..在理論上就可以解開所有波函數是如何跟著時間變化的
一個我覺得量子力學很神奇的東西就是對稱和守恆律
波函數為量子狀態機率幅的描述..對於同一個狀態
若我們對它作一些簡單的動作..例如位置或時間的平移, 旋轉, 鏡射等
因為這些動作不影響任何物理行為..所以不會影響到原來的事件的"機率"
但是機率幅本身卻是可以有個相位差的 (絕對值平方會一樣)
例如旋轉180度兩次的波函數應和原來一樣..可以推得旋轉180度後相位差應為180度的整數倍
狀態|x>對某算符Q對稱的定義為 H Q |x> = Q H |x> (H為哈密頓算符)
也就是H與Q無關..代表你用Q測量某數值q之前和之後的物理是一樣的
如此可推得..對於時間對稱意味能量守恆..對於位置的對稱意味動量守恆
在談到宇稱的時候..費曼順勢提到了量子力學一個很重要的現象"量子糾纏"
其實對於量子力學是很自然的現象..但對於慣於用古典力學思考的我們會覺得有點詭異
例如兩個光子在未被測量之前可用一個狀態來表示 (糾纏在一起)
經過一些特意的處理..某特定狀態可以使得若一個光子被測量到x偏振的話..那另一個一定是y偏振
古典的想法是兩個光子測量的"機率"應該是獨立的..但在這裡它們的機率幅是互相干涉的
這種特殊現象已是今日"量子通訊"應用的最基本原理
雖然量子力學為人類帶來許多成就
但因為薛丁格方程式太過複雜..所有原子能準確的被解出的只有氫原子
不過這個結果和實驗完全符合..也是量子力學的里程碑之一
當原子數大於1以後..波函數的長相只能用想像的..不過卻已經足夠解釋許多化學現象
波函數告訴我們每次測量出的數值的機率..但是每次測量結果可能都不一樣
這樣好像沒什麼實際用途
不過可以計算出測量的平均值..經過一小段推導可得
算符Q的平均為 i/h(HQ - QH)
最後也介紹了必需要用量子力學才能解釋的"超導體"和"順磁性"
當溫度極低時..電子將一對一對的束縛起來..由於電子對的總自旋為零..一電子對可視為一個玻色子
由於玻色子會有進入共同狀態的傾向..這也就是形成永不停歇的電流的原因
而塊材的順磁性大都是當它含有未填滿內殼層原子時 (不過沒說為什麼)
在無磁場時原子能量為某個值..在磁場下能量值會分裂成兩個..分別對應到磁矩自旋1/2和-1/2
達熱平衡時..兩態的機率正比於 exp(-E/kT)..其中E=-uB和uB
所以當B越大時其E=-uB態會越來越多..於是該材料就被"磁化"了
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